[Graph] Representing Networks -Degree

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Graph Neural Network (GNN)을 다루기 위해서는 일단 그래프가 어떤건지부터 이해하고 넘어가야 한다. 아래의 엄청 간단한 그래프 구조 예시를 통해 쉽게 설명이 가능하다. 

 

우리는 이러한 그래프를 아래와 같은 간단한 수식으로 표현할 수 있다. 

 

$$\mathcal{g}=\{\mathcal{V},\mathcal{E}\},\mathcal{V}=\{v_1,...,v_N\},N=|\mathcal{V}|,\mathcal{E}=\{e_1,...,e_M\},M=|\mathcal{E}|$$

$\mathcal{V}$는 노드(node)의 집합을 의미하고, $\mathcal{E}$는 엣지(edge)의 집합을 의미한다. 소셜 네트워크나 화학 등 다양한 분야에서 사용되며, $e_1$는 $v_1$과 $v_2$를 연결하는 엣지를 의미하며 $(v_{e_1}^1,v_{e_1}^2)$로 표기할 수 있다. (노드는 정점(Vertex)이라고 부르기도 하기 때문에 node의 수식을 $V$로 표기하였다.)

 

그래프는 노드와 엣지로 구성되어 있으며, 각각의 크기가 존재한다. 그렇다면 노드가 5개 존재하고, 엣지가 10개 존재하는 경우와 노드가 5개 존재하고, 엣지가 5인 경우 두 그래프의 크기는 같을까? 다를까? 그래프의 크기를 나타낼 때에는 노드의 수로 표현한다. 앞선 예시의 경우, 두 그래프의 크기는 동일하다. 즉, 노드의 크기가 같다면 동일한 크기의 그래프라 한다. 

 

그래프는 유향그래프와 무향그래프로 나눌 수 있다. 유향은 방향성이 존재하는 것을 의미하고, 무향은 방향성이 존재하지 않는 것을 의미한다. 수식으로 표현하면, 유향인 경우 $(v_{e_1}^1,v_{e_1}^2)=(v_{e_1}^2,v_{e_1}^1)$이지만, 무향인 경우에는 $(v_{e_1}^1,v_{e_1}^2)\ne (v_{e_1}^1,v_{e_1}^2)$ 이다.

 

지금까지 그래프를 그림으로 어떻게 구성되었는지 확인하였다. GNN 혹은 GCN (Graph Convolutional Network)로 만들어 학습하기 위해서는 수치로 표현되어야 하는 것이 당연하다. 그렇다면, 이전까지 예시로 사용한 그래프를 한 번 행렬로 표현해보자. 

 

 

각각의 노드를 연결하는 엣지가 존재하는 경우 1로 표기할 수 있다. 또한, 노드 자기 자신과 연결된 엣지는 존재하지 않기 때문에 행렬의 대각선의 성분은 모두 0이 된다. 우리는 이러한 행렬을 인접 행렬(adjacency matrix)라고 부른다. 이번 글에서는 행렬을 수식적으로 깊게 다루진 않는다. 만약 상세한 내용 및 수식을 다루고 싶다면 여기를 참고하길 바란다. 

 

첫번째, $v_{e_i}^1$와 $v_{e_i}^1$를 연결하는 사건(incident)을 간선 혹은 엣지 $e_i$라고 부른다. 두번째, 노드 $v_i$와 $v_j$ 사이에 엣지가 존재하는 경우에만 노드 $v_i$와 $v_j$는 인접(adjacent)하다. 마지막으로, 그래프는 그래프의 노드 간의 연결을 설명하는 인접 행렬로 표현할 수 있다. 

 

Degree

Degree는 노드 $v$와 인접한 노드의 수를 의미한다. 즉, 노드 $v$에 3개의 엣지가 연결되어 있다면 $v$의 차수는 3이 된다. Neighbors은 인접한 노드의 집합을 의미한다. 즉, 노드 $v_1$에 노드 $v_2,v_3$이 연결되어 있는 경우 노드의 이웃은 $\{v_2,v_3\}$이 된다. Total Degree는 모든 노드의 차수를 더한 것이다. 즉, 노드들의 차수가 각각 3, 4 그리고 5인 경우 Total Degree는 12가 된다. 이를 수식으로 표현하면 아래와 같다.

$$\text{Degree}:k_i=\sum _j{A}_{ij}$$

$$m=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{k}_i=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^n{A}_{ij}$$

$$\text{Mean Degree}:⟨k⟩=\frac{1}{n}\sum _i{k}_i=\frac{2m}{n}$$

이때 m은 엣지의 개수를 의미한다. .모든 차수의 합을 구할 경우 엣지가 중복으로 계산되기 때문에 $\frac{1}{2}$로 나누어주는 것이다. 이렇게 구한 엣지의 수를 통해 $\text{mean Degree}$를 표현할 수도 있다. 위 경우는 무향 그래프 기준으로 설명하였다. 유향 그래프에서는 들어오는 차수(Indegree)와 나가는 차수(Outdegree)를 따로 계산하여야 한다.

$$\text{Degree}=\text{Indegree + Outdegree}$$

$$k_i=k_i^{in}+k_i^{out}$$

$$k_3=\sum _{i=1}^n{A}_{i3}+\sum _{j=1}^n{A}_{3j}$$

들어오는 차수의 경우 열을 기준으로 합산하여 계산할 수 있고, 나가는 차수의 경우 행을 기준으로 계산할 수 있다. 이를 합치면 바로 해당 노드의 차수가 된다.