[Linear Algebra] trace operate

Trace 연산자는 행렬의 모든 주대각 성분의 합을 의미하며, 다음과 같이 정의한다. 

 

$$Tr(\mathit{A})=\sum _i{\mathit{A}}_{\mathit{i}\mathbf{,}\mathit{i}}$$

 

Trace 연산자는 Transpose 연산자에 대해 불변(invariant)이다. 또한, 행렬 곱으로 이루어진 정방행렬의 대각합은 각 행렬곱의 순서를 바꾸어도 행렬곱이 정의된다. 단, 행렬 순서를 바꾸어도 연산이 된다는 가정하에 적용된다. 

 

$Tr(\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C})=Tr(\mathit{C}\mathit{A}\mathit{B})=Tr(\mathit{B}\mathit{C}\mathit{A})$

 

$$Tr(\prod _{i=1}^n{\mathit{F}}^{(i)})=Tr({\mathit{F}}^{(n)}\prod _{i=1}^{n-1}{\mathit{F}}^{(i)})$$

 

이러한 불변성은 원래의 행렬곱과 형태가 달라도 성립한다. $\mathit{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$과 $\mathit{B}\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$에 대해 다음이 성립한다. 

 

$Tr(\mathit{A}\mathit{B})=Tr(\mathit{B}\mathit{A})$