[Linear Algebra] trace operate

Trace 연산자는 행렬의 모든 주대각 성분의 합을 의미하며, 다음과 같이 정의한다. 

 

\[ Tr(\boldsymbol{A}) = \sum_{i} \boldsymbol{A_{i,i}} \]

 

Trace 연산자는 Transpose 연산자에 대해 불변(invariant)이다. 또한, 행렬 곱으로 이루어진 정방행렬의 대각합은 각 행렬곱의 순서를 바꾸어도 행렬곱이 정의된다. 단, 행렬 순서를 바꾸어도 연산이 된다는 가정하에 적용된다. 

 

$ Tr(\boldsymbol{ABC}) = Tr(\boldsymbol{CAB}) = Tr(\boldsymbol{BCA}) $

 

\[ Tr( \prod_{i=1}^n \boldsymbol{F}^{(i)}) = Tr(\boldsymbol{F}^{(n)} \prod_{i=1}^{n-1} \boldsymbol{F}^{(i)}) \]

 

이러한 불변성은 원래의 행렬곱과 형태가 달라도 성립한다. $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$과 $\boldsymbol{B} \in \mathbb{R}^{n \times m}$에 대해 다음이 성립한다. 

 

$ Tr(\boldsymbol{AB}) = Tr(\boldsymbol{BA}) $