선형대수학을 다루다보면 랭크(Rank)라는 말을 많이 들어봤을 것이다. 랭크는 열공간(Column Space)의 차원을 의미한다. 일단 이를 이해하기 위해서는 일차독립에 대해서 먼저 알고 있어야 한다. 우리의 최종 목표는 행렬
의 1열의 성분에 0이 아닌 것이 존재하면, 이를 행렬 에 포함한다. 의 2열이 1열에 상수를 곱한 것과 같지 않으면, 이를 에 포함한다. 의 3열이 1열과 2열의 일차결합(곱,뎃섬 등으로 표현되는)이 아니면, 이를 에 포함한다.- 위 작업을 반복 수행한다.
- 마지막의
는 r ( )개의 열이 된다. - 이
개의 열은 의 열공간의 기저(basis)다.
몇 가지 예시를 통해 이를 계산해보자.
위의 경우에는 첫번째열부터 세번째열까지 전부 독립(independent)이기 때문에 r=3이며, 이때의 랭크는 3이다.
행렬
위 행렬을 계산하면
이때의
- 모든 성분이 0인 행은 모두 최하단에 위치한다.
- 임의의 두 leading entry(pivot)의 위치를 비교했을 때 행이 빠를수록 열도 빠르다. (같은 열에 위치하는 것은 허용하지 않는다)
계단식의 형태를 띄고 있어야만 이를 바로 행사다리꼴 행렬이라고 부를 수 있다. 행사다리꼴 행렬 중에서 다음과 같은 조건을 추가적으로 만족할 경우 우리는 이를 바로 기약행 사다리꼴 RREF라고 부른다.
- leading entry(pivot)는 1이다. 기약행사다리꼴의 leading entry를 leading one이라 한다.
- leading one과 같은 열에 위치한 성분은 모두 0이다.
머신러닝 분야에서는 다양한 방법으로 행렬을 분해하고 있는데, 대표적인 방법론으로는 SVD 가 존재한다. 행렬 분해를 할 때 기본이 되는 랭크에 대해서 한 번 다루어 보았다.
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