라플라스 변환은 수학자 피에르시몽 라플라스의 이름을 따서 지은 이름이며, 미분방정식을 대수방정식으로 변환해주는 녀석이다. 대수방정식은 우리가 일반적으로 알고 있는
미분방정식의 경우 대수방정식에 비해 상대적으로 사람이 이해하기 어렵기에 대수방정식으로 변환하여 인수분해 혹은 근의 공식을 사용하여 쉽게 해를 구하기 위해 라플라스 변환을 사용한다. 라플라스 변환을 통해 미분방정식을 대수방정식으로 변환한 후 대수방정식의 해를 구한 후 다시 라플라스 역변환을 해줌으로써 원래 미분방정식의 해를 도출할 수 있다. 라플라스 변환의 수식은 다음과 같다.
미분방정식을 대수방정식으로만 바꾸는 것을 라플라스 변환이라고 칭하는 것이 아니라 t-공간에서의 복잡한 미분방정식을 다른 공간으로 변환시켜 간단한 대수방정식 혹은 기존의 미분방정식보다는 간단한 미분방정식으로 변환하는 것을 말하는 것이다. 미분방정식
미분방정식을 라플라스 변환을 통해 풀 때 다음과 같은 공식을 통해 유도할 수 있다.
먼저 1계 도함수부터 유도해보자.
n계 도함수의 경우 다음과 같이 유도할 수 있다.
미분방정식의 계수가 높아질수록 사실상 해를 구하는 것은 불가능에 가깝기에 우리는 라플라스 변환을 통해 간단한 연산만으로 해를 구할 수 있다. 회로이론, 제어공학, 신호 처리 등 여러 분야에서 사용된다. 라플라스 변환의 discrete 버전으로 z-transform이라는 것이 있는데, 이는 difference equation을 대수방정식으로 변환해준다.
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