[Calculus] 라플라스 변환(Laplace Transform)

 

 

라플라스 변환은 수학자 피에르시몽 라플라스의 이름을 따서 지은 이름이며, 미분방정식을 대수방정식으로 변환해주는 녀석이다. 대수방정식은 우리가 일반적으로 알고 있는 $x^2 + x - 2 = 0$과 같은 형태를 의미하고, 미분방정식은 우리가 알지못하는 함수와 그의 도함수, 그리고 이 함수들의 함수값에 관계된 여러 개의 변수들에 대한 방정식을 의미한다. 이전 글에서 다룬 테일러 급수, 매클로린 급수와 같은 녀석이 미분방정식의 예라고 할 수 있다. 

 

미분방정식의 경우 대수방정식에 비해 상대적으로 사람이 이해하기 어렵기에 대수방정식으로 변환하여 인수분해 혹은 근의 공식을 사용하여 쉽게 해를 구하기 위해 라플라스 변환을 사용한다. 라플라스 변환을 통해 미분방정식을 대수방정식으로 변환한 후 대수방정식의 해를 구한 후 다시 라플라스 역변환을 해줌으로써 원래 미분방정식의 해를 도출할 수 있다. 라플라스 변환의 수식은 다음과 같다. 

\[ \text{F}(x) = \mathcal{L}\{f\}(s) = \int_0^{\infty} e^{-st}f(t)dt  \]

미분방정식을 대수방정식으로만 바꾸는 것을 라플라스 변환이라고 칭하는 것이 아니라 t-공간에서의 복잡한 미분방정식을 다른 공간으로 변환시켜 간단한 대수방정식 혹은 기존의 미분방정식보다는 간단한 미분방정식으로 변환하는 것을 말하는 것이다. 미분방정식$\Rightarrow$미분방정식도 라플라스 변환이 될 수 있다.

 

미분방정식을 라플라스 변환을 통해 풀 때 다음과 같은 공식을 통해 유도할 수 있다. 

\[ \mathcal{L}(f^{(n)}) = s^n \mathcal{L}(f) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0) \]

먼저 1계 도함수부터 유도해보자. 

\[ \begin{equation} \begin{split} \mathcal{L}(f') = & \int e^{-st}f'(t)dt \\ \\ \Rightarrow & \ \begin{bmatrix} f(t)e^{-st} \end{bmatrix}^{\infty}_0 + s \int^{\infty}_0 e^{-st} f(t)dt \\ \\ \Rightarrow & \ -f(0) + s \mathcal{L}(f) \\ \\ \mathcal{L}(f') = &  s \mathcal{L}(f) - f(0) \end{split} \end{equation} \]

 

n계 도함수의 경우 다음과 같이 유도할 수 있다. 

\[ \begin{equation} \begin{split} \mathcal{L}(f^{(n)}) = & \int e^{-st}f^{(n)}(t)dt \\ \\ \Rightarrow & \ \begin{bmatrix} f^{(n-1)}(t)e^{-st} \end{bmatrix}^{\infty}_0 + s \int^{\infty}_0 e^{-st} f^{(n-1)}(t)dt \\ \\ \Rightarrow & \ -f^{(n-1)}(0) + s \mathcal{L}(f^{(n-1)}) \\ \\ \mathcal{L}(f^{(n)}) = & \ s \mathcal{L}(f^{(n-1)}) - f^{(n-1)}(0) \end{split} \end{equation} \\ \\  \]

 

\[ \mathcal{L}(f^{(n-1)}) = s \mathcal{L}(f^{(n-2)}) - f^{(n-2)}(0) \]

\[ \mathcal{L}(f^{(n)}) = \ s^2 \mathcal{L}(f^{(n-2)}) - s f^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0) \]

\[ \vdots \]

\[ \vdots \]

\[ \mathcal{L}(f^{(n)}) = s^n \mathcal{L}(f) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0) \]

 

미분방정식의 계수가 높아질수록 사실상 해를 구하는 것은 불가능에 가깝기에 우리는 라플라스 변환을 통해 간단한 연산만으로 해를 구할 수 있다. 회로이론, 제어공학, 신호 처리 등 여러 분야에서 사용된다. 라플라스 변환의 discrete 버전으로 z-transform이라는 것이 있는데, 이는 difference equation을 대수방정식으로 변환해준다.