[Linear Algebra] 선형 변환

edwith 주재걸 교수님의 강의를 참고했다.

 

 

Transformation 을 다루기 전에 기본적으로 알아야할 개념들 먼저 알아보자.

Domain : 정의역이라고 하며 x의 모든 값

Codomain : 공역

Image : x가 주어졌을 때 mapping되는 y를 지칭

Range : 치역

 

함수는 아래의 화살표 관계에서 정의역의 하나의 원소에 대해 딱 하나의 값으로만 매핑되어야 한다. 그리고 정의역 내의 x값은 모두 Codomain에 속해있어야 한다. image가 하나가 아니라면 함수라고 부를 수 없다. x는 항상 unique하게 define 된다. 

 

 

 

 

 

Linear Transformation은 무엇인가?

어떤 Function 혹은 mapping이 Linear라고 한다면 아래의 조건을 만족할 때 Linear Transformation이라 부른다.

 

$T$(c$u$ + d$v$) = c$T$($u$) + d$T$($v$) 

 

한 가지 예를 들어보자. $y = 3x + 2$는 선형변환일까? $u = 1, v = 2$라고 하면 $T$(3*1 + 4*2) = 3$T$(1) + 4$T(2)$가 되어야 한다. $T(11)$ $\neq$ 15 + 32 이기 때문에 우리가 일반적으로 알고 있는 회귀식과 선형대수의 선형결합과는 차이가 있다. $y = 3x + 2$ 형태로 feature와 bias term 까지 표현된 값은 Linear Transformation 이라고 부르지 않는다. 하지만 이 경우를 다음과 같은 트릭을 사용하면 선형결합으로 부를 수 있다. 

 

위 경우 정의역과 공역은 $ T\ :\ \mathbb{R^{1}} \rightarrow \mathbb{R^{1}} $  가 된다. $ {\begin {bmatrix} 3 & 2 \end {bmatrix}} \cdot {\begin {bmatrix} x \\ 1 \end {bmatrix}} = 3x+2 $로 표현하면서 정의역과 공역을 $T\ :\ \mathbb{R^{2}} \rightarrow \mathbb{R^{1}} $ 로 선형결합의 형태로 바꿀 수 있다. 지금의 방식으로 위 문제를 다시 풀어보자. 

 

$T(3 \cdot \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \end {bmatrix}  + 4 \cdot \begin {bmatrix} 2 \\ 1 \end {bmatrix}) $= $ {\begin {bmatrix} 3 & 2 \end {bmatrix}} \cdot {\begin {bmatrix} 11 \\ 7 \end {bmatrix}} $ = 33 + 14 = 47

선형 결합임을 알 수 있다.