[Statistics] independent of probability variable

우리가 일반적으로 생각하는 독립(independent)이라는 개념과 확률변수(probability variable)에서의 독립과는 다소 차이가 있다. 일반적으로 생각하는 독립은 '떨어져 있는', '겹치지 않은' 의 의미로 받아들인다. 하지만 확률 변수에서의 독립은 다음과 같이 정의한다. 

 

어떤 값 $a,\ b$에 대해 조건 '$X=a$'와 조건 '$Y=b$'가 항상 독립할 때 확률변수 $X,Y$는 서로 독립이라고 한다.

 

1. $X$와$Y$가 독립
2. $P(Y=y | X=x)$이 $x$에 의존하지 않고 $y$만으로 정해진다.
3. $P(Y=y | X=x) = P(Y=y)$ 항상 성립
4. 결합 확률의 비가 일정.
5. $P(X=x, Y=y) = P(X=x)\cdot \ P(Y=y)$

 

 

위와 같은 벤다이어 그램을 생각해보자. $P(A)$와 $P(B)$는 겹쳐 있는 것을 확인할 수 있다. '겹쳐있지 않은', '떨어져 있는' 다는 것과는 다소 거리가 멀다. 하지만 $P(A)\cdot \ P(B)$=$P(A,B)$ 라면 독립이라고 할 수 있다.

 

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

 

=$\frac{P(A)P(B)}{P(B)}$

 

=$P(A)$

 

$P(A|B)=P(A)$

 

$P(A \cap B) = 0.4$ 로 정의하고 $P(A)=0.4,\ P(B)=0.1$이라 한다면 이 경우 역시 확률변수에서의 독립을 만족한다.